先说个不太中听的事实：一个真有优势的策略，照样能把账户亏到归零。 大多数爆仓不是输在没优势，是输在执行——单笔下太重，或者策略其实早就死了，人还在硬扛。Edgekit 是我写的一个小库，就管这两件事：手里有个优势，该押多重；以及，什么时候该承认它没了。 它不帮你找优势。优势是你自己带进来的，库只负责把它安全地用掉、并在它失效时叫停。 正期望，不等于能活下来 把交易抽到最简单：抛硬币。赢了资本乘以 $A$（$A>1$），输了乘以 $B$（$0...

先说实验。一条长 64 的随机 0/1 序列，每个位置都要答一道题：y[t] = x[t] XOR x[t-24]（前 24 个位置没有过去，答案就是 x[t] 本身）。四个一维因果卷积网络，通道数、优化器、数据全一样，只有接线不同。其中感受野最小的那个训完之后，把每个位置的测试准确率单独画出来，是这样： 红线在 t=24 那里直接断崖。前 24 个位置全对——那段答案就是当前位，谁都会。从 t=24 起，答案开始依赖 24 步之前的那一位，而这个网络的感受野只有 13：往回第 24 位在它的视野外面。视野外的位跟视野内的一切统计独立，所以它能做的最好的事就是抛硬币。0.688 的总准确率也没什么可调的：24/64 × 1.0 + 40/64 × 0.5 = 0.6875，到顶了。 我喜欢这个断崖的地方在于它干净。前几篇的瓶颈都软乎乎的——梯度小了、训练慢了、种子背了——这次是信息论意义上的墙：看不到就是看不到，损失函数上不存在任何下降方向能把那一位变出来。为了确认墙是真的，我做了个更狠的检查：拿一个网络，把输入里恰好在感受野边界外一位的那个 bit 翻转，输出 logit 的变化是精确的 0.0，不是 1e-8，是 0。翻边界内一位的，logit 就动了。 感受野是接线时定死的算术 因果卷积一层的输出是 $$y_t = b + \sum_{j=0}^{k-1} W_j\, x_{t - j\cdot d}$$k 是核宽，d 是 dilation——卷积核的几个 tap 之间隔多远。d=1 是普通卷积，d=2 就是隔一个取一个。每过一层，感受野长 (k-1)·d，整个网络能看多远就是 1 + Σ(k-1)·d，一道小学算术，训练动不了它一毫米。 ...

#16 结尾我说那根 skip 现在到处都是，每个 Transformer block 里都躺着一个。那篇把它当成一个干净的 +x 用。可它真得是 +x 吗？把它换成 +0.9·x 或者 +1.1·x，差这么一点，按说无所谓。He、Sun 他们 2016 年的后续论文（Identity Mappings）专门为这点较了真，结论是差这一点，深网络就重新训不动了。原因还是那个老问题——你又在沿着深度乘东西了，而 skip 当初就是为了让你别再乘。 给 skip 乘上一个数 干净的残差块是 x ← x + F(x)。一路堆上去，第 l 层到第 L 层之间，主干就是一串加法： $$x_L = x_l + \sum_{i=l}^{L-1} F(x_i)$$反向也就跟着干净。x_l 收到的梯度是 $$\frac{\partial x_L}{\partial x_l} = I + \sum_{i=l}^{L-1}\frac{\partial F(x_i)}{\partial x_l}$$那个 I 就是 #16 里反复说的直通线，梯度原样递回去，不管中间几十层。 现在在 skip 上压个常数 λ，块变成 x ← λ·x + F(x)。把它展开，主干上每过一块就多乘一次 λ，到第 L 层： $$x_L = \lambda^{\,L-l}\, x_l + \cdots$$梯度也一样，x_l 那一项前面挂上了 λ^{L-l}。λ 只要不等于 1，这就是深度的指数。50 层下来，λ=1.1 是 1.1^50 ≈ 117，λ=0.8 是 0.8^50 ≈ 1.4e-5。skip 本来是用那个 I 把连乘掐断的，你给它乘个 0.9，连乘原封不动地回来了。 ...

按说网络越深应该越强。再不济，多出来的层学成恒等映射，整个网络退回浅的，也不该更差。但真把一个普通深网络堆起来，事情是拧着的：过了某个深度，越加层越难训，连训练集都拟合不动，训练误差不降反升。He、Zhang、Ren、Sun 2015 年的 ResNet 针对的就是这个怪现象。 上一篇 #15 的 RMC 我训得挺狼狈，三个随机种子里两个直接塌到瞎猜，当时只甩了句「深层堆叠难训」就糊弄过去了。这篇算把那句话补完——它的解法，残差连接，如今每个 Transformer block 里都躺着一个。 残差块 改动很小。普通一层从头学一个变换，h ← tanh(Wh)；残差块学的是在原来基础上加多少： $$h \leftarrow h + W_2\,\tanh(W_1 h)$$F 没学到有用的东西就退回 0，这层自动成了恒等映射。「至少不会更差」这件事，被写进了结构里。 真正值钱的是反向。梯度经过一个残差块时， $$\frac{\partial y}{\partial x} = I + \frac{\partial F}{\partial x}$$I 那一项把上游梯度原样递回去。哪怕 ∂F/∂x 已经小到忽略不计，梯度也跌不破这个 1。叠几十层，最前面那几层照样收得到信号。普通层没有这一项，它的梯度是几十个雅可比矩阵连乘的结果，乘着乘着就归零了。 在螺旋上跑一遍 我拿三条缠在一起的螺旋臂做二维分类。这任务浅网络随手就解，是我故意挑简单的：这样深网络一旦训不动，锅只能算在优化头上，跟任务难不难没关系。 两个网络宽度相同、权重层数也相同，唯一的区别是那根 skip 线。深度从 2 拉到 48： 深度（权重层数） plain 残差 8 1.000 1.000 16 0.978 1.000 24 0.628 1.000 32 0.520 1.000 48 0.502 1.000 浅的时候两边都满分。plain 过了 16 层开始掉，到 48 层只剩 0.5，离三分类瞎猜的 0.33 没多远了。这是训练准确率——它连自己浅的时候能轻松拟合的那批数据，现在都喂不进去了。残差网络参数一个不差，全程 1.0。 ...

#14 结尾留了个尾巴：RN 把每一对对象等权求和，差一步就是 self-attention——把等权换成 softmax 加权。Santoro 那帮人 2018 年的 Relational Recurrent Neural Networks（模型叫 Relational Memory Core，简称 RMC）就把这一步迈了出去，还顺手做了件事：把这套加权的 all-pairs 塞进一块循环记忆里。不是对输入对象两两算一次，而是养一组「记忆槽」，每来一个输入就让这些槽互相 attend、互相更新一遍。 拆到底，RMC 就是拿一个 Transformer block 当记忆的更新规则用。想法很漂亮。但我训下来最大的收获，是它在最小版里出乎意料地难伺候。 它长什么样 记忆是 S 个槽、每个宽 D 的一块矩阵 M。每来一个输入，嵌成一行 e，拼到记忆后面，然后对这 S+1 行做一个标准的 Transformer encoder block： $$\tilde M = \mathrm{LN}\big(M + \mathrm{Attn}(M,\ [M; e])\big), \qquad M' = \mathrm{LN}\big(\tilde M + \mathrm{MLP}(\tilde M)\big)$$attention 的 query 来自记忆槽，key 和 value 来自「槽加上这一步的输入」，所以一个槽既能读别的槽，也能读新来的输入。M' 就是下一步的记忆。整段序列走完，把最后的记忆拍平读出答案。跟 #12 NTM 那套手工设计的读写头比，这里没有专门的读写机制，记忆的更新规则就是 self-attention 本身——这也正是它跟 #05 Transformer 的关系：同一个 block，Transformer 拿它当整个模型的主干，RMC 拿它当循环记忆的更新规则。 ...

#13 Memory Networks 里 attention 干的是挑：拿问题去跟每条事实比一比，挑出该读的那条，多跳就是顺着挑好几次。从 #09 Bahdanau 起，这一整条线都在把「挑」做得更软、更可微。 Santoro 那帮人 2017 年的 A simple neural network module for relational reasoning（模型常被叫 Relation Network，下面简称 RN）问了句反过来的话：能不能不挑？它的答案是不挑。把每一对对象 (o_i, o_j) 都丢进同一个小网络 g，全部加起来，再用 f 从这个和里读出答案： $$RN(O) = f_\phi\Big(\sum_{i,j} g_\theta(o_i, o_j, q)\Big)$$没有 attention 权重，没有路由，没有谁比谁重要。所有对一视同仁，各算一遍，求和。听着挺笨，但这一笨恰好是后来 self-attention 的骨架——self-attention 不过是把这个等权的和换成了 softmax 加权的和。 为什么求和就够 三件事撑着这个模块。一个 relation 本来就是「两个对象的函数」，同一个 g 用在每一对上，参数省，还逼着模型把关系当成通用的东西，而不是给每对配一套。一堆对象本来没有先后，先求和再读出，意味着打乱顺序结果一个字都不变——置换不变是白送的。问题 q 拼进每一对里，g 看到的是 (o_i, o_j, q)，于是「关心哪种关系」由问题说了算。 读出那一步就是过个 f 再 softmax， $$\hat a = \mathrm{softmax}\big(f_\phi(r)\big), \qquad r = \sum_{i,j} g_\theta(o_i, o_j, q)$$跟 #12 NTM 那套 location addressing、erase/add 比，这里干净得不像话：两个 MLP，一次求和。论文标题里的 simple 不是谦虚。 ...

从 #12 的"写"接过来 #12 Neural Turing Machine 让 attention 既能读也能写一块外部 memory。代价是那套寻址机器很重：内容寻址之外还要 interpolation、convolutional shift、sharpening 一条流水线，写的时候又要 erase 再 add。东西能跑，但训练很 brittle，换个任务就得重调。 Sukhbaatar、Szlam、Weston、Fergus 2015 End-To-End Memory Networks（这一篇下面简称 MemN2N）问了个反方向的问题：这些机器是不是大部分都可以不要？ 它的答案是：把写砍掉，把 location addressing 砍掉，只留 NTM 里最朴素的那一半——content-based 的读。memory 不再是一块要反复擦改的矩阵，就是输入本身，写一次，之后只读。 只读会不会太弱？MemN2N 的补法是：读好几遍。一遍不够就拿这一遍的结果当新问题再读一遍。下面把这事拆开看。 记忆就是输入本身 NTM 要专门维护一块 N×M 的矩阵，每步擦改。MemN2N 干脆不写：一段话里的每个事实，就是 memory 里的一行。 把每个事实 x_i（一句话的 bag-of-words）用一个嵌入矩阵投成向量 m_i = A x_i，问题 q 投成 u = B q。读一遍就是一次 content addressing——跟 #11 Luong 的点积、#12 的内容寻址是同一个动作： $$p_i = \mathrm{softmax}(u^\top m_i), \qquad o = \sum_i p_i\, c_i$$p 是 attention 权重，o 是读出来的内容。注意读出用的是另一套嵌入 c_i = C x_i——一套嵌入管"拿什么去匹配"，一套管"匹配上了读回什么"。后来 Transformer 里 key 和 value 分开，是同一个分工。 ...

从 #10 留下的问题接过来 #10 Pointer Networks 让 attention 第一次直接当输出——softmax 不再对着固定词表挑词，而是对着输入位置挑一个。decoder 每一步指向输入里的某个地方。 不过那还是 read-only 的指针。模型只能指过去读，不能在那个位置上留下新内容。 Graves、Wayne、Danihelka 2014 Neural Turing Machines 把指针往前推了一步：attention 不只能读，还能写。模型旁边放一块外部 memory，就是一张可读可写的矩阵。每一步 controller 算出两类指针：一组用来读，一组用来擦+加。 这就是 NTM 的主问题：如果 attention 已经能指向输入里的位置，下一步自然就是：它能不能指向一块可读可写的记忆？ 一块 N×M 的矩阵 把 memory 想成一个矩阵 M，N 行（slot 数），每行 M 维（slot 大小）。这就是 NTM 的"外部 memory"。 读操作很直接。给一个 attention 权重 w（一个长度为 N 的概率分布），读出来的就是按 w 对所有行的加权求和： $$r_t = \sum_i w_t(i) \cdot M_t(i)$$跟 Bahdanau attention 算 context vector 是一样的——只是这里的"key/value"不是 encoder 的 annotations，而是 memory 矩阵本身。 写操作多一步：先按 w 擦掉旧内容，再按 w 加上新内容。controller 输出两个 M 维向量：一个 erase vector e，一个 add vector a： ...

从 #10 留下的尾巴说起 #10 Pointer Networks 结尾留了一句：2015 年 attention 沿两条线继续长——一条是 Pointer Networks，让 attention 直接当输出；另一条是 Luong，让 attention 算得更便宜。 这一篇走第二条。 Bahdanau 2014 把 attention 接进了 NMT，效果好。但 attention 这一步本身是有成本的。每生成一个目标词，decoder 都要对 encoder 的所有位置打一遍分。源句 50 个词，decoder 生成 50 个词，光是算 score 就要 2500 次。 每一次 score 怎么算，决定了这件事到底贵不贵。 Bahdanau 的算分方式 Bahdanau 用的是加性形式： $$e_{ij} = v^\top \tanh(W s_{i-1} + U h_j)$$s 是 decoder 的上一步状态，h 是 encoder 第 j 个位置的 annotation。 这里面有三组参数：W（把 s 投到打分空间）、U（把 h 投到打分空间）、v（把打分空间压成一个标量）。算一次 score 要做两次矩阵乘、一个 tanh、一个内积。 ...